Question

如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB也与⊙O相切；
（2）又PO的延长线与⊙O交于点Q，若⊙O的半径为3，PC=4，求△PCQ的面积．

Answer 1

分析：（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC，证明OD=OC即可；
（2）过点C作CH⊥OP，利用勾股定理求出OP的值，再利用面积定值求出CH的值，进而求出三角形PCQ的面积．

解答：（1）证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC，
∵PA切⊙O于点C，
∴OC⊥PA，
又∵点O在∠APB的角平分线上，
∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径，
∴PB与⊙O相切；

（2）过点C作CH⊥OP于点H，
在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，
∴OP=

OC 2+PC 2

=5，
∵

1

2

OC×PC=

1

2

OP×CH=S_△PCO，
∴CH=

PC×OC

OP

=

4×3

5

=

12

5

，
∴S_△PCQ=

1

2

×PQ×CH=

1

2

×8×

12

5

=

48

5

．

点评：本题考查了切线的判定方法和勾股定理的运用以及三角形面积公式的应用．