Question

16．如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC，MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=$\frac{1}{2}$BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．

解答 （1）解：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠A=∠A}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE；
（2）四边形DEMN是正方形，
证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
由（1）知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{CE=BD}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，
∴O到BC的距离=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．