Question

10．如图，∠AOB=30°，点M在OB上，且OM=5cm，以M为圆心，r为半径画圆．
（1）讨论射线OA与⊙M公共点个数，并写出r对应的取值范围；
（2）若C是OA上一点，OC=5$\sqrt{3}$cm，讨论线段OC与⊙M的公共点个数，并写出r相应的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作MN⊥OA于N，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MN=$\frac{1}{2}$OM=2.5，然后根据直线与圆的关系得到当r=2.5时，⊙M与射线OA相切，只有一个公共点；当0＜r＜2.5时，⊙M与射线OA相离，没有公共点；当2.5＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点，而当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点．
（2）由（1）可知当⊙M的半径r=2.5时，⊙M与射线OA只有一个公共点，此时ON=$\sqrt{3}$MN=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$＜OC，所以线段OC与⊙M的有1个公共点；当0＜r＜2.5时，⊙M与射线OA没有公共点，则线段OC与⊙M的公共点个数为0；当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点，则则线段OC与⊙M的公共点个数为1个．

解答 解：（1）作MN⊥OA于N，如图，
∵∠AOB=30°，
∴MN=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴当r=2.5时，⊙M与射线OA只有一个公共点；
当0＜r＜2.5时，⊙M与射线OA没有公共点；
当2.5＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点；
当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点．
所以当0＜r＜2.5时，⊙M与射线OA没有公共点；当r=2.5或r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点；当2.5＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点；
（2）∵MN=$\frac{1}{2}$OM=2.5，
∴⊙M的半径r=2.5时，⊙M与射线OA只有一个公共点，
此时ON=$\sqrt{3}$MN=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$＜OC，
∴线段OC与⊙M的有1个公共点；
当0＜r＜2.5时，⊙M与射线OA没有公共点，则线段OC与⊙M的公共点个数为0；
当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点，则则线段OC与⊙M的公共点个数为1个．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．