【题目】在等边△ABC中,以BC为弦的⊙O分别与AB,AC交于点D和E,点F是BC延长线上一点,CF=AE,连接EF.
(1)如图1,BC为直径,求证:EF是⊙O的切线;
(2)如图2,EF与⊙O交于点G,⊙O的半径为1,BC的长为π,求BF的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)只要证明OE⊥EF即可;(2)如图2中,连接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延长线于H.首先利用弧长公式求出∠BOC,解直角三角形求出BC、EC的长即可解决问题;
解:(1)证明:如图1中,连接BE、OE.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ACB=60°,
∵BC是直径,
∴∠BEC=90°,
∴BE⊥AC,
∵BA=BC,
∴AE=EC=CF,
∴∠F=∠CEF,
∵∠BCE=∠F+∠CEF=60°,
∴∠CEF=∠F=30°,
∵OE=OC,∠OCE=60°,
∴△OEC是等边三角形,
∴∠OEC=60°,
∴∠OEF=60°+30°=90°.
∴OE⊥EF.
∴EF是⊙O的切线.
(2)解:如图2中,连接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延长线于H.
∵的长=,
∴n=150°,
∴∠BOC=150°,∠OBC=∠OCB=15°,∠COH=30°,
在Rt△OCH中,CH=OC=,OH=,
∴BC= ,
∵∠ECO=∠ACB﹣∠OCB=45°,
∴EC=,
∴AE=CF= ,
∴BF=
.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,AC的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点O,以点O为圆心,OB的长为半径作圆,与AB边交于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点P为⊙O上的动点(含点E,B),连接BD、BP、DP.
①当点P只在BE左侧半圆上时,如果BC∥DP,求∠BDP的度数;
②若Q是BP的中点,当BE=4时,直接写出CQ长度的最小值.
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【题目】如图,在半径为6的⊙O中,正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O,则图中阴影部分的面积为( )
A. 27﹣9B. 18C. 54﹣18D. 54
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【题目】小明和小亮计划寒假结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是:在一个不透明的袋子中装有编号为,,的三个球(除编号外都完全相同),从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字,若两次数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动;若两次数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1;
(2)求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和.
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【题目】小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图1).当手按住顶部A下压如图2位置时,洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点.瓶子上部分是由弧和弧组成,其圆心分别为D,C.下部分的是矩形CGHD的视图,GH=10cm,点E到台面GH的距离为14cm,点B距台面的距离为16cm,且B,D,H三点共线.若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时,则手心距水平台面的高度为_____cm.
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【题目】如图,Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上,AC边在x轴上,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则图中阴影部分的面积是_________
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【题目】如图,⊙O中的弦BC等于⊙O的半径,延长BC到D,使BC=CD,点A为优弧BC上的一个动点,连接AD,AB,AC,过点D作DE⊥AB,交直线AB于点E,当点A在优弧BC上从点C运动到点B时,则DE+AC的值的变化情况是( )
A.不变B.先变大再变小C.先变小再变大D.无法确定
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