Question

如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积；

(3)△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给出证明；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为抛物线与y轴交于点(0，3)， 　　所以设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3(a≠0)． 　　根据题意，得a－b＋3＝0，9a＋3b＋3＝0， 　　解得a＝－1，b＝2． 　　所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为D(1，4)， 　　设对称轴与x轴的交点为F， 　　所以四边形ABDE的面积＝S△AOB＋S梯形BOFD＋S△DFE＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9． 　　(3)相似． 　　如图，过点B作BG⊥DF，垂足为G． 　　BD＝＝＝， 　　BE＝＝＝3， 　　DE＝＝＝2． 　　所以BD2＋BE2＝20，DE2＝20． 　　即BD2＋BE2＝DE2， 　　所以△BDE是直角三角形． 　　所以∠AOB＝∠DBE＝90°， 　　且＝＝， 　　所以△AOB∽△DBE．