Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点
E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：
               
①AP =EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

C

解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH=BE=PE=HP，
∴AH=CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD=" 2" PF，
∴PD=" 2" CE．
故③正确．
∵点P在BD上，
∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选C．