Question

某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：

(1)有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；

(2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．(S表示面积)

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P₁，P₂三等分边AB，R₁，R₂三等分边AC．

经探究知＝S_△ABC，请证明．

问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q₁，Q₂三等分边DC．请探究与S_{四边形ABCD}之间的数量关系．

问题3：如图3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分边DC．若S_{四边形ABCD}＝1，求．

问题4：如图4，P₁，P₂，P₃四等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分边DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．请直接写出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一个等式．

Answer 1

答案：
解析：

解：问题1：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC， 　　∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1∶4∶9． 　　∴＝S△ABC＝S△ABC 　　问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知 　　∴＝S△ABC，＝S△ACD 　　∴＋＝S四边形ABCD 　　由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC， 　　可得P1R1：P2R2＝Q2R2：Q1R1＝1：2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1． 　　∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2Q2． 　　由结论(2)，可知＝． 　　∴＝＋＝S四边形ABCD． 　　问题3：设＝A，＝B，设＝C， 　　由问题2的结论，可知A＝，B＝． 　　A＋B＝(S四边形ABCD＋C)＝(1＋C)． 　　又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]． 　　整理得C＝，即＝ 　　问题4：S1＋S4＝S2＋S3． 　　分析：问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得． 　　问题2：由问题1的结果和所给结论(2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得． 　　问题3：由问题2的结果经过等量代换可求． 　　问题4：由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3＝SABCD．