Question

3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，O是AD上一点，⊙O与BC相切于点D，且与AB、AC分别相交于点E、F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：EF∥BC
（2）已知AB=5，BC=8．当EF是⊙O的直径时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OE、OF，首先证明OM=ON，△OEM≌△OFN，只要证明EF⊥AD，BC⊥AD即可证明．
（2）如图2中，设OE=OF=OD=x，由EF∥BC，得$\frac{EO}{BD}$=$\frac{AO}{AD}$，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OE、OF．

∵⊙O与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，D为边BC的中点，
∴AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴OM=ON，
在Rt△OEM和Rt△OFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OEM≌△OFN，
∴∠OEM=∠OFN，
∵∠EOG=∠OEM+∠OAB，∠FOG=∠OFN+∠OAC，
∴∠EOG=∠FOG，∵OE=OF，
∴AD⊥EF，
∵AD⊥BC，
∴EF∥BC．

（2）如图2中，设OE=OF=OD=x．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5，BD=DC=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
由（1）可知，EF∥BC，
∴$\frac{EO}{BD}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{3-x}{3}$，
∴x=$\frac{12}{7}$，
∴EF=2x=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．