Question

3．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\frac{9}{5}$，从而求得B′D=1，DF=$\frac{3}{5}$，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长，进而得出BF的长．

解答 解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4-3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{9}{5}$，
∴DF=EF-ED=$\frac{3}{5}$，
∴B′F=$\sqrt{B'{D}^{2}-D{F}^{2}}=\frac{4}{5}$．
∴BF=B'F=$\frac{4}{5}$，
故选B．

点评 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．