Question

6、41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据数的特点，将数分为奇数和偶数两部分，奇数由小到大排列，偶数由大到小排列，可满足题意；
（2）根据数的排列，推出任何相邻两数必为一奇一偶，与现有20个偶数，21个奇数矛盾，证明办不到．

解答：解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．

（2）不能办到．若把1，2，3，，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．
（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）

点评：此题考查了质数与合数的概念及其排列组合，将数组分为两类，进行适当排列是解题的关键．