Question

20．已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现：如图1，当E点旋转到DA的延长线上时，△ABE与△ADG的面积关系是：△ABE的面积=△ADG的面积；
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时，△ABE与△ADG的面积关系是：△ABE的面积=△ADG的面积；
并证明你的结论；
（3）如图3，四边形ABMN、四边形DEAC、四边形BFGC均为正方形，则S_△ABC、S_△AEN、S_△BMF、S_△DCG的关系是S_△ABC=S_△AEN=S_△BMF=S_△DCG；
（4）运用：某小区中有一块空地，要在其中建三个正方形健身场所（如图3），其余空地修成草坪．若已知其中一个正方形的边长为5m，另一个正方形的边长为4m，则草坪的最大面积是30m²．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADG，则△ABE的面积=△ADG的面积；
（2）作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，根据等角的余角相等得到∠PAE=∠GAH，根据“AAS”可判断△AHG≌△AEP，所以GH=BP，然后根据三角形面积公式得到△ABE的面积=△ADG的面积；
（3）由（2）容易得出结论；’
（4）先根据三角形面积公式得到△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×5×sin∠BAC，利用正弦的定义得到△ABC面积的最大值；然后根据（2）中的结结论计算阴影部分的面积和的最大值．

解答 解：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E点旋转到DA的延长线上
∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD=90°，
在△ABE和△ADG中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠EAB=∠GAD}&{\;}\\{AE=AG}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴△ABE的面积=△ADG的面积；
故答案为：△ABE的面积=△ADG的面积；

（2）结论仍然成立．理由如下：
作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图所示，
∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，
∴∠PAE=∠GAH，
在△AHG和△AEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAH=∠EAP}&{\;}\\{∠GHA=∠EPA}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△AEP（AAS），
∴GH=BP，
∵△ABE的面积=$\frac{1}{2}$EP•AB，△ADG的面积=$\frac{1}{2}$GH•AD，
∴△ABE的面积=△ADG的面积；
故答案为：△ABE的面积=△ADG的面积；

（3）由（2）得：S_△ABC=S_△AEN=S_△BMF=S_△DCG，
故答案为：S_△ABC=S_△AEN=S_△BMF=S_△DCG，
（4）∵AB=5m，AC=4m，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×5×4×sin∠BAC=10sin∠BAC，
当sin∠BAC=1时，△ABC的面积的最大值为10，
根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=3×10=30m²．
故答案为：30m²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．