Question

12．已知：如图，BD、CE为△ABC的两条中线，延长BD到G，使BD=DG，延长CE到F，使CE=EF
（1）求证：AF=AG；
（2）求证：F、A、G三点在同一条直线上．

Answer 1

分析 （1）易证△GAD≌△BCD，△AFE≌△BCE，则AG=BC=AF；
（2）由△GAD≌△BCD，△AFE≌△BCE，可得∠GAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC，由三角形内角和定理可知∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°，故F、A、G三点在同一条直线上．

解答 证明：（1）∵BD是中线，
∴AD=CD，
在△GAD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DG}\\{∠ADG=∠CDB}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△BCD（SAS），
∴AG=BC，
同理△AFE≌△BCE，
∴AF=BC，
∴AF=AG；
（2）∵△GAD≌△BCD，△AFE≌△BCE，
∴∠GAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°，
∴F、A、G三点在同一条直线上．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解三点共线的含义是解决问题的关键．