Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你写出BF与CG满足的数量关系，并加以证明；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB=5：13，，求DE+DF的值．

Answer 1

解：（1）BF=CG；
证明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图），
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；

（3）仍然成立，
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图），
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥EG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，
即DE+DF=CG，
∵AG：AB=5：13，设CG=x，
∴AG=x，AC=AB=x，
∴x²+=，
解得，x=8；
∴DE+DF的值为8．
分析：（1）由于有∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS证得△ABF≌△ACG?BF=CG；
（2）过点D作DH⊥CG于点H（如图）．易证得四边形EDHG为矩形，有DE=HG，DH∥BG?∠GBC=∠HDC．又有AB=AC?∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°?CD=DC，可由AAS证得△FDC≌△HCD?DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．
（3）同（2）可证得DE+DF=CG，由AG：AB=5：13，设CG=x，则AG=x，AC=AB=x，根据勾股定理可得：
x²+=，解得，x=8；即DE+DF的值为8．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求解；作出辅助线是正确解答本题的关键．