Question

【题目】如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣1，0）在抛物线 上，

解得

∴抛物线的解析式为 ．

∴顶点D的坐标为

（2）

解：当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 当y=0时， ，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）

解： 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，

连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．

∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM．

∴

∴ ，

∴ ．

解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，

则 ，

解得： ．

∴ ．

∴当y=0时， ， ．

∴ ．

【解析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2 ， 即可确定△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值