Question

如图，已知凸四边形ABCD，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且BE=2AE，BF=2CF，DH=2AH，DG=2CG，求证：S_KLMN=S_△AKH+S_△BEL+S_△CFM+S_△DNG．

Answer 1

分析：由题意连接AC，得出三角形ADG的面积，然后根据图形可知S△ADG+S△BCE=

2

3

S四边形ABCD，从而进行证明．

解答：证明：连AC，
因为DG=2GC，所以S△ADG=

2

3

S△ADC
∵BE=2AE，
∴S△BEC=

2

3

S△ABC
∴S△ADG+S△BCE=

2

3

S四边形ABCD
同理，S△DCF+S△ABH=

1

3

S四边形ABCD
∴S_△ADC+S_△BCE+S_△DCF+S_△ABH=

2

3

S_{四边形ABCD}+

1

3

S_{四边形ABCD}=S_{四边形KLMN}+（S_△ADG-S_△DGN）+（S_△DCF-S_△CFM）+（S_△CBE-S_△BEL）+（S_△ABH-S_△AHK）
由（1）、（2）得，S_{四边形KLMN}=S_△AHK+S_△BEL+S_△CFM+S_△DGN

点评：此题主要考查了三角形的面积公式，用规则的图形表示出不规则的图形是解题的关键．