Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）判断四边形ABDF的形状，并说明理由；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10.

【解析】

（1）根据平行线的性质和中线的性质，得出△AFE≌△DBE，即可解答.；

（2）由D是BC的中点，可得CD=AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；

（3）根据题意得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．

（1）解：四边形ABDF是平行四边形.

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF=DB．又∵AF∥BC

∴四边形ABDF是平行四边形

（2）证明：∵DB=DC，

∴AF=CD，

又∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD=DC=BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）解：∵四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S=ACDF=10．