Question

15．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为4；
②连接OD，当∠PBA的度数为60°时，四边形BPDO是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB，由SAS可证△CDP≌△POB；
（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．

解答 （1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP∥AB，
∴DP=$\frac{1}{2}$AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=BO}\\{∠CPD=∠PBO}\\{PC=PB}\end{array}\right.$
∴△CDP≌△POB（SAS）；
（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，
（4÷2）×（4÷2）
=2×2
=4；
②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∵四边形BPDO是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA的度数为60°．
故答案为：4；60°．

点评 考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．