精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
15.如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为4;
②连接OD,当∠PBA的度数为60°时,四边形BPDO是菱形.

分析 (1)根据中位线的性质得到DP∥AB,DP=$\frac{1}{2}$AB,由SAS可证△CDP≌△POB;
(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,依此即可求解;
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形,可得四边形BPDO是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,以及等边三角形的判定和性质即可求解.

解答 (1)证明:∵PC=PB,D是AC的中点,
∴DP∥AB,
∴DP=$\frac{1}{2}$AB,∠CPD=∠PBO,
∵BO=$\frac{1}{2}$AB,
∴DP=BO,
在△CDP与△POB中,
$\left\{\begin{array}{l}{DP=BO}\\{∠CPD=∠PBO}\\{PC=PB}\end{array}\right.$
∴△CDP≌△POB(SAS);
(2)解:①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,
(4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4;
②如图:
∵DP∥AB,DP=BO,
∴四边形BPDO是平行四边形,
∵四边形BPDO是菱形,
∴PB=BO,
∵PO=BO,
∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等边三角形,
∴∠PBA的度数为60°.
故答案为:4;60°.

点评 考查了菱形的判定,全等三角形的判定与性质,中位线的性质,解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

5.如图,已知AB∥DE,BF、EF分别平分∠ABC与∠CED,若∠BCE=140°,则∠BFE=70°.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.如图,在⊙O中,AB为直径,延长CD至E,使得AE⊥CE.
(1)求证:△ABD∽△ACE;
(2)若AE与⊙O相切于点A,AE=4,CE=8,求直径AB的长度.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

3.如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO.
(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明:PC是⊙O的切线;
(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求$\widehat{AB}$的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

10.在某次训练中,甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示,对于本次训练,有如下结论:①S2>S2;②S2<S2;③甲的射击成绩比乙稳定;④乙的射击成绩比甲稳定,由统计图可知正确的结论是(  )
A.①③B.①④C.②③D.②④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

20.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为5.5,或0.5.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4,EF=4$\sqrt{3}$,∠BAD=60°,且AB>4$\sqrt{3}$.
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=6,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图,在水平地面上竖立着一面墙AB,墙外有一盏路灯D.光线DC恰好通过墙的最高点B,且与地面形成37°角.墙在灯光下的影子为线段AC,并测得AC=5.5米.
(1)求墙AB的高度(结果精确到0.1米);(参考数据:tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)
(2)如果要缩短影子AC的长度,同时不能改变墙的高度和位置,请你写出两种不同的方法.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

5.如图①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$,由弧长l=$\frac{nπR}{180}$,得S扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{nπR}{180}$•R=$\frac{1}{2}$lR.通过观察,我们发现S扇形=$\frac{1}{2}$lR类似于S三角形=$\frac{1}{2}$×底×高.
类比扇形,我们探索扇环(如图②,两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环)的面积公式及其应用.
(1)设扇环的面积为S扇环,$\widehat{AB}$的长为l1,$\widehat{CD}$的长为l2,线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差).类比S梯形=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高,用含l1,l2,h的代数式表示S扇环,并证明;
(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园,线段AD的长h为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?

查看答案和解析>>

同步练习册答案