Question

4．在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
（1）如图1，△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为2；
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点P满足；∠BPC=∠BEC，且PB=PC；（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接OB、OC，只要证明△OBC是等边三角形即可．
（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．
（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．当EK=KC=$\sqrt{2}$时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一个点P满足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，当BK=$\sqrt{2}$时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，此时m=BC=2，由此不难得出结论．

解答 解：（1）如图1中，连接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
故答案为2．

（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O；
以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，
则点P为所求．


（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，
∴OK=KC=$\sqrt{2}$，
当EK=KC=$\sqrt{2}$时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一个点P满足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，
当BK=$\sqrt{2}$时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，此时m=BC=2，
综上所述，满足条件的m的值的范围为2≤m＜1+$\sqrt{2}$．
故答案为2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、作图-复杂作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．