Question

自变量为x的二次函数y=ax²+（6a-2）x+9a-7（a＞0）．
（1）若a=1，-4≤x≤3，求函数值y的最大值与最小值；并分别指出所对应的自变量x的值；
（2）当a变化时，该二次函数图象是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
（3）若该二次函数图象与x轴有两个不同的交点，而且两交点的横坐标均小于-1，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y=x²+4x+2=（x+2）²-2
因为-4≤x≤3，开口向上，对称轴x=-2
所以当x=-2时，有最小值-2，当 x=3时，有最大值23．

（2）将二次函数整理成y=a（x²+6x+9）-2x-7
令x²+6x+9=0?x=-3，将x=-3代入，则y=-1
经过验证点（-3，-1）满足函数表达式，所以该二次函数图象经过一个定点，坐标为（-3，-1）．

（3）由（2）的结论，再由开口向上，可以知道该二次函数图象必与x轴有两个交点，
将x=-1代入表达式，得到相应的函数值为4a-5，要想两交点的横坐标均小于-1，只需要4a-5＞0
所以a＞

5

4

．