Question

14、已知：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最大值与最小值，并求此时方程的根．

Answer 1

分析：先根据判别式△≥0求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求解即可．

解答：解：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=2k²-12k+17，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=4（k²-2k+1）-2（2k²-12k+17）
=-8k+4+24k-34
=16k-30，
∵△=4（k²-2k+1）-4（2k²-12k+17）
=-4k²+40k-64≥0，
解得：2≤k≤8，
∴当k=8时，最大值为98，方程为x²-14x+49=0，两根为7；
当k=2时，最小值为2，方程为x²-2x+1=0，两根为1．

点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据判别式△≥0求出k的取值范围．