Question

【题目】如图1，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴交于点C（0,3），对称轴为直线x=1，交x轴于点D，顶点为点E．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接AC，CE，AE，求△ACE的面积；

（3）如图2，点F在y轴上，且OF=，点N是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴右侧，连接ON交对称轴于点G，连接GF，若GF平分∠OGE，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）1；（3）点N的坐标为：（，）．

【解析】

（1）由点C的坐标，求出c，再由对称轴为x=1，求出b，即可得出结论；

（2）先求出点A，E坐标，进而求出直线AE与y轴的交点坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论；

（3）先利用角平分线定理求出FQ=1，进而利用勾股定理求出OQ=1=FQ，进而求出∠BON=45°，求出直线ON的解析式，最后联立抛物线解析式求解，即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），

令x=0，则c=3，

∵对称轴为直线x=1，

∴，

∴b=2，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）如图1， AE与y轴的交点记作H，

由（1）知，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，

令y=0，则-x2+2x+3=0，

∴x=-1或x=3，

∴A（-1，0），

当x=1时，y=-1+2+3=4，

∴E（1，4），

∴直线AE的解析式为y=2x+2，

∴H（0，2），

∴CH=3-2=1，

∴S△ACE=CH|xE-xA|=×1×2=1；

（3）如图2， 过点F作FP⊥DE于P，则FP=1，过点F作FQ⊥ON于Q，

∵GF平分∠OGE，

∴FQ=FP=1，

在Rt△FQO中，OF=，

根据勾股定理得，OQ=，

∴OQ=FQ，

∴∠FOQ=45°，

∴∠BON=90°-45°=45°，

过点Q作QM⊥OB于M，OM=QM

∴ON的解析式为y=x①，

∵点N在抛物线y=-x2+2x+3②上，

联立①②，则，

解得：或（由于点N在对称轴x=1右侧，所以舍去），

∴点N的坐标为：（，）．