Question

已知x₁，x₂是关于工的方程x²-3x+m=0两个不相等的实数根，设S=x₁²+x₂²．
（1）求S关于m的函数解析式，并求自变量m的取值范围；
（2）当函数值S=7时，求x₁³+8x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由根与系数的关系可得出x₁+x₂、x₁x₂的值，再将S的表达式配成完全平方式，再将x₁+x₂、x₁x₂的值整体代入，即可得出S、m的函数关系式；m的取值范围可由根的判别式得出；
（2）首先可求出S=7时，m的值；然后将所求代数式进行拆分，再将此时x₁+x₂，x₁x₂的值代入求解．

解答：解：（1）由题意，得：x₁+x₂=3，x₁x₂=m；
∴S=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2m；
由于原方程有两个不相等的实数根，故△=9-4m＞0，即m＜

9

4

；
即S=9-2m（m＜

9

4

）；
（2）当S=7时，9-2m=7，即m=1；
此时x₁+x₂=3，x₁x₂=1；
∴x₁³+8x₂=x₁³+（x₁²+x₂²+x₁x₂）x₂
=x₁³+x₁²x₂+x₂³+x₁x₂²
=x₁³+x₂³+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂+1）
=3×（7-1+1）=21．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．