Question

（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=

1

2

∠BAD=

1

2

×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，
∴OD=

1

2

AD=

1

2

×2=1，
∴AO=

AD2-OD2

=

22-12

=

3

，
∴AE=CF=

3

×

3

2

=

3

2

，
∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，
∴高EF=2×

3

2

=

3

，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

( 3 2 )2+( 3 )2

=

21

2

．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．