Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．

如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．

(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法1：根据题意可得：A(－1，0)，B(3，0)； 　　则设抛物线的解析式为(a≠0) 　　又点D(0，－3)在抛物线上，∴a(0＋1)(0－3)＝－3，解之得：a＝1 　　∴y＝x2－2x－3　3分 　　自变量范围：－1≤x≤3　4分 　　解法2：设抛物线的解析式为(a≠0) 　　根据题意可知，A(－1，0)，B(3，0)，D(0，－3)三点都在抛物线上 　　∴，解之得： 　　∴y＝x2－2x－3　3分 　　自变量范围：－1≤x≤3　4分 　　(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 　　在Rt△MOC中，∵OM＝1，CM＝2，∴∠CMO＝60°，OC＝ 　　在Rt△MCE中，∵OC＝2，∠CMO＝60°，∴ME＝4 　　∴点C、E的坐标分别为(0，)，(－3，0)　6分 　　∴切线CE的解析式为 　　　8分 　　(3)设过点D(0，－3)，“蛋圆”切线的解析式为：y＝kx－3(k≠0)　9分 　　由题意可知方程组只有一组解 　　即有两个相等实根，∴k＝－2　11分 　　∴过点D“蛋圆”切线的解析式y＝－2x－3　12分