Question

12．如图，过线段AB两端点分别作MB⊥AB，NA⊥AB，垂足分别为点B、点A；点D是射线AN上的-点，点E是线段AB上的一动点，联结DE，过点D作DC⊥DE，与射线BM交于点C，联结CE；
（1）求证：$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$；
（2）若已知AD=4，AB=8，请问当AE长为多少时，线段CE的长恰巧为10？
（3）若BC=2AD，△DCE与四边形ABCD的面积之比是2：5，求sin∠DCE的值．

Answer 1

分析 （1）首先过D作DF⊥AN于点F，判断出四边形BADF是矩形，即可推得FD=AB；然后根据三角形相似的判定方法，判断出△CDF∽△EDA，即可推得$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{FD}$，再根据FD=AB，判断出$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$即可．
（2）首先根据AD=4，AB=8，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，判断出$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，设DE=x，则DC=2x，在Rt△CDE中，由勾股定理，求出DE的值是多少；然后在Rt△ADE中，根据勾股定理，求出AE的值是多少即可．
（3）首先作CG⊥AN于点G，设AD=x，AB=y，则BC=2x；然后分别求出△DCE的面积，以及△BCE、△ADE的面积和；然后根据△DCE与四边形ABCD的面积之比是2：5，可得△DCE的面积与△BCE、△ADE的面积和的比是2：3，求出x：y的值，进而求出sin∠DCE的值是多少即可．

解答 （1）证明：如图1，过D作DF⊥AN于点F，，
∵MB⊥AB，NA⊥AB，DF⊥AN，
∴四边形BADF是矩形，
∴FD=AB，∠FDE+∠EDA=90°，
∵DC⊥DE，
∴∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠CDF=∠EDA，
在△CDF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠EAD=90°}\\{∠CDF=∠EDA}\end{array}\right.$
∴△CDF∽△EDA，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{FD}$，
又∵FD=AB，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$．

（2）如图2，，
∵AD=4，AB=8，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，
设DE=x，则DC=2x，
∵DC⊥DE，CE=10，
由勾股定理，可得：x²+（2x）²=10²，
解得：x=2$\sqrt{5}$或x=-2$\sqrt{5}$（舍去），
即DE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{E{D}^{2}-D{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴当AE=2时，线段CE的长恰巧为10．

（3）如图3，作CG⊥AN于点G，，
∵MB⊥AB，NA⊥AB，CG⊥AN，
∴四边形BAGC是矩形，
∴AG=BC，CG=AB，
∵BC=2AD，
∴设AD=x，AB=y，则BC=2x，
∴DG=AG-AD=BC-AD=2x-x=x，
∴CD=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
由（1），可得$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{DE}{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}$，
∴DE=$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$DE•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$×$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{x}{2y}$（x²+y²），
∵DE=$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$，AD=x，
∴AE=$\sqrt{{DE}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}{（x}^{2}{+y}^{2}）}{{y}^{2}}{-x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{y}$，
又∵AB=y，
∴BE=y-$\frac{{x}^{2}}{y}$=$\frac{{y}^{2}{-x}^{2}}{y}$，
∴S_△BCE+S_△ADE=$\frac{1}{2}×2x$×$\frac{{y}^{2}{-x}^{2}}{y}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}^{2}}{y}$×x=$\frac{2{xy}^{2}{-x}^{3}}{2y}$，
又∵△DCE与四边形ABCD的面积之比是2：5，
∴$\frac{x}{2y}$（x²+y²）：$\frac{2{xy}^{2}{-x}^{3}}{2y}$=2：3，
整理，可得
（x²+y²）：（2y²-x²）=2：3，
∴5x²=y²，
∴$\frac{x}{y}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠DCE=$\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{5}）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了勾股定理的应用，三角形的面积的求法，以及三角函数值的求法，要熟练掌握．