Question

如图，抛物线F₁：y₁=-x²-x+1与抛物线F₂：y₂=x²-x-1相交于A、B两点，抛物线F₁与抛物线F₂分别交y轴于点C、点D
（1）判断四边形ACBD的形状为

 

，其面积为

 

；
（2）若将“抛物线F₁：y₁=-x²-x+1与抛物线F₂：y₂=x²-x-1”分别改为“抛物线F₁：y₁=-ax²-bx+1与抛物线F₂：y₂=ax²-bx-1，且（a＞0）”，则四边形ACBD的形状是否发生变化？说明理由；
（3）在（2）的前提下，当b满足怎样的条件时，四边形ACBD是菱形．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）（2）题的思路是一致的；根据抛物线F₁、F₂的解析式，可确定C（0，1）、D（0，-1）；联立两个抛物线的解析式，可求得A（-

a

a

，-

b

a

），B（

a

a

，

b

a

），由此可发现C、D以及A、B都关于原点O对称，那么AB、CD互相平分，所有四边形ACBD是平行四边形；那么它的面积可由CD与A、B横坐标差的绝对值的积的一半求得；根据这些结论即可得到（1）题的填空答案．
（3）若四边形ACBD是菱形，那么AB、CD互相垂直平分，此时A、B都在x轴上，且关于原点对称，所以A、B的纵坐标值为0，由此可求得a的值，进而可得到A、B的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定b的值．

解答：解：（1）四边形ACBD是平行四边形，面积为2．（证明过程同（2）．）

（2）四边形ACBD的形状不变，仍为平行四边形，理由如下：
联立F₁、F₂的解析式，可得：

y=-ax2-bx+1 y=ax2-bx-1

，
解得

x= a a y=- b a

，

x=- a a y= b a

；
故A（-

a

a

，

b

a

），B（

a

a

，-

b

a

）；
易知C（0，1），D（0，-1）；
则A、B，C、D都关于原点对称，
即AB、CD互相平分，
因此四边形ACBD是平行四边形；
S_?ACBD=

1

2

CD×|x_B-x_A|=

1

2

×2×

2 a

a

=

2 a

a

．

（3）若平行四边形ACBD是菱形，则AB、CD互相垂直平分，那么A、B必在x轴上，则：
-

b

a

=

b

a

=0，
即b=0；
故当b=0时，四边形ACBD是菱形．

点评：此题考查了二次函数的性质、函数图象交点坐标的求法、平行四边形的判定以及面积的求法、菱形的判定等知识，熟练掌握各特殊四边形的判定方法是解答此题的关键．