Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm²．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
（3）设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式．

Answer 1

（1）当t＝或时，△PBQ是直角三角形；（2）①y＝8－（0≤t≤4），②当t＝2时，y取得最小值，最小值是；（3）y．

试题分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况讨论即可；
（2）根据三角形的面积公式列式y＝S_△ABC－S_△BPQ即得函数关系式，根据二次函数最值原理即可得出y取得最小值时t的值和y的最小值；
（3）把t²－4 t＝代入y＝8－化简即可.
试题解析：（1）当t＝或时，△PBQ是直角三角形，理由如下：
∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，
∴①当∠PQB＝90°时，由得： t ＝4－t，解得：t＝；
②当∠QPB＝90°时，由得：，解得：t＝.
∴当t＝或时，△PBQ是直角三角形.
（2）①过P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝，
∴S_△BPQ＝，
∴y＝S_△ABC－S_△BPQ＝8－.
由题意可知：0≤t≤4.
②y＝8－＝，
∴当t＝2时，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，
由PQ²＝ PH²＋HQ²，则x²＝〔（4－t）〕²＋〔（4－t）－t〕²
化简得：x²＝（2＋）t ²－4（2＋）t＋16，∴ t²－4 t＝.
将t²－4t＝代入y＝8－，得y＝8＋·．