Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．
（1）求证：△AEG≌△AEC；
（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；
（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定定理HL进行证明；
（2）根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE，即△CEF是等腰三角形；
（3）四边形GECF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，

GE=CE AE=AE

，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；

（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；

（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECFR是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．