Question

19、如图，已知AC是⊙O的弦，AB为⊙0的直径，点D在AB的延长线上，∠A=∠D=30°
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BD=5时，求⊙O的半径长？

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据三角形的内角和与外角的性质，证得∠OCD=90°，即可证得CD是圆的切线；
（2）根据直角三角形有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得OB=BD．

解答：（1）证明：连接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O的半径．
∴CD是⊙O的切线；

（2）由（1）得：∠OCD=90°，
在直角△OCD中，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OD=2OB，
∴OB=BD=5，
∴⊙O的半径是5．

点评：本题主要考查了切线的判定定理，以及直角三角形的性质，证明切线常用的方法是根据切线的判定定理转化为证明垂直关系．