Question

4．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD=3，BD=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据勾股定理求得AB=5，然后证得△ADB∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得BC的长．

解答 （1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ADB=90°，AD=3，BD=4，
∴AB=5，
∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DB}{BC}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{BC}$，
∴BC=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质等，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．