Question

14．（1）求对称轴是x=-2，且开口方向、形状都与y=2x²相同，还过原点的抛物线的解析式．
（2）已知抛物线经过（0，2）、（1，1）、（3，5），求该抛物线的解析式．
（3）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示．
①求二次函数的解析式；
②将已知二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的函数解析式为y=-（x-2）²+2．

Answer 1

分析 （1）设抛物线顶点式解析式为y=2（x+2）²+k，然后把点（0，0）代入进行计算即可得解；
（2）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，把（0，2）、（1，1）、（3，5）分别代入求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式；
（3）①设抛物线交点式解析式y=a（x+3）（x-1），然后把点（-1，4）代入计算即可得解；
②根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是x=-2，且开口方向、形状都与y=2x²相同，
∴可设y=2（x+2）²+k，
则2（0+2）²+k=0，
解得k=-8，
则y=2（x+2）²-8；

（2）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
把（0，2）、（1，1）、（3，5）分别代入得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
则y=x²-2x+2；

（3）①设抛物线交点式解析式y=a（x+3）（x-1），
把点（-1，4）代入得，4=a（-1+3）（-1-1），
解得a=-1，
则y=-（x+3）（x-1）；

②∵y=-（x+3）（x-1）=-（x+1）²+4，
∴将已知二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的函数解析式为
y=-（x+1-3）²+4-2，即y=-（x-2）²+2．
故答案为y=-（x-2）²+2．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象与几何变换．