Question

13．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．

（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G₁为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G₁的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度2；
B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离跨度2；
C（-3，-2）的距离跨度4；
②根据①中的结果，猜想到图形G₁的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是圆．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G₂为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G₂的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标x_E的取值范围-1≤x_E≤2．

Answer 1

分析 （1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．

解答 解：（1）①∵图形G₁为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=1，
点A到⊙O的最大距离D=3，
∴点A到图形G₁的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴OB=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG-OB=1，
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴点B到图形G₁的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC=$\sqrt{（-3）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC-OD=$\sqrt{13}$-2，
点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+$\sqrt{13}$，
∴点C到图形G₁的距离跨度R=D-d=2+$\sqrt{13}$-（ $\sqrt{13}$-2）=4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴点P到⊙O的最小距离d=2-OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP，
∴点P到图形G₁的距离跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵图形G₁的距离跨度为2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，
∴x²+y²=1，
即：到图形G₁的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ-2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，
∴点P到图形G₁的距离跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵图形G₁的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G₁的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；

（2）设直线y=k（x+1）上存在到G₂的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），
∴OP=$\sqrt{（m-1）^{2}+[k（m+1）]^{2}}$，
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G₂为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G₂的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G₂的圆的直径4，
∴点P在图形G₂⊙C内部，
∴R=2OP=2 $\sqrt{（m-1）^{2}+[（k（m+1）]^{2}}$，
∵直线y=k（x+1）上存在到G₂的距离跨度为2的点P，
∴2 $\sqrt{（m-1）^{2}+[k（m+1）]^{2}}$=2，
∴（k²+1）m²+2（k²-1）m+k²=0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△=4（k²-1）²-4×（k²+1）k²=-12k²+4≥0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．

由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射线OP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
当E′（-1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标x_E的取值范围：-1≤x_E≤2．
故答案为：-1≤x_E≤2．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由（1）的已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．是一道难点比较大的中考常考题，判断出图形的形状是圆，是本题的难点．