Question

【题目】如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，P为⊙O上一动点，过点P分别作PE⊥AB、PF⊥CD，垂足分别为E、F，M为EF的中点．若点P从点B出发，以每秒15°的速度按逆时针方向旋转一周，当∠MAB 取得最大值时，点P运动的时间为______秒．

Answer 1

【答案】8或16

【解析】分析：根据题意，画出点P运动时的图形，找到变与不变的量，即可得出当当点P运动到AM与小圆O相切的位置时∠MAB 取得最大值，进而求出点P的旋转角度即可得出答案.

详解：如图所示，

图1 图2 图3

由题可知四边形OEPF是矩形（点A、B、C、D处时为一条线段），

在点P运动的过程中，OP的长为圆O的半径长，

由矩形的性质可知，点M中OP的中点，

∴OM：AO＝1：2，

当点P运动到AM与小圆O相切的位置时（图2、图3），∠MAB 取得最大值，

在Rt△AMO中，

∵OM：AO＝1：2，

∴∠MAO=30°，

∴在图2中，可得∠POC=30°，在图3中可得∠POD=30°，

∴当点P从点B出发，以每秒15°的速度按逆时针方向旋转90°+30°＝120°或270°-30°＝240°时，∠MAB最大为30°，

∴点P运动的时间为：

或.

故答案为：8或16.