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(1997•武汉)已知:如图,⊙M交x轴正半轴于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,交y轴正半轴于C(0,y1)、D(0,y2)(y1<y2)两点.
(1)求证:∠CAO=∠DAM;
(2)若x1、x2是方程x2-px+q=0的两个根,y1、y2是方程y2-(q-1)y+(p-1)=0的两个根,且x1+y1+x2+y2=12,求p和q的值;
(3)过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF,垂足分别为点E和F,根据(2),求证:△AEM≌△MFA.
分析:(1)延长AM交⊙M于点P,连接DP,利用圆内接四边形的性质,可得出结论;
(2)利用根与系数的关系可得:x1+x2=p,x1•x2=q;y1+y2=q-1,yl•y2=p-1,结合x1+y1+x2+y2=12,可得出一个p与q的关系式,再由切割线定理的推论也可得出一个q与p的关系式,联立求解可得出p、q的值.
(3)先求出各点的坐标,继而得出⊙M的半径,过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F,延长DM交⊙M于点Q,连接AQ,分别求出EM、FA的长度,继而利用HL 可判定两直角三角形的全等.
解答:证明:(1)延长AM交⊙M于点P,连接DP,

由圆内接四边形的性质定理得:∠APD=∠ACO,
而∠CAO=90°-∠ACO,∠DAM=90°-∠APD,
∴∠CAO=∠DAM.

(2)由条件知:x1+x2=p,x1•x2=q;y1+y2=q-1,yl•y2=p-1,
∵x1+y1+x2+y2=12,
∴p•q-1=12 ①,
在⊙M中,由切割线定理的推论得:x1x2=y1y2
即q=p-1 ②,
联立①②解得:p=7,q=6.

(3)证明:由(2)知A(1,0)、B(6,0),C(0,2),D(0,3),
则可求得⊙M的半径长为
5
2
2

过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F,延长DM交⊙M于点Q,连接AQ,

则易得△ADE∽△QDA,
DE
AD
=
AD
DQ
,即DE=
AD2
DQ

而AD2=OD2+OA2=9+1=10,DQ=2×
5
2
2
=5
2

∴DE=
10
5
2
=
2
,EM=DM-DE=
3
2
2

同理可得:CF=
5
5
2
=
2
2
,FA=AC2-CF2=
3
2
2

∴EM=FA,
在Rt△AEM和Rt△MFA中,
EM=FA
AM=AM

∴Rt△AEM≌Rt△MFA(HL).
点评:本题考查了圆的综合题,涉及了根与系数的关系、圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求同学们熟练掌握各定理的内容,并能将所学知识点融会贯通.
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