Question

17．已知长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与B重合，折痕为EF．
（1）求△ABE的面积．
（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）首先设BE=xcm，由折叠的性质可得：DE=BE=xcm，即可得AE=9-x（cm），然后在Rt△ABE中，由勾股定理BE²=AE²+AB²，可得方程x²=（9-x）²+3²，解此方程即可求得DE的长，继而可得AE的长，则可求得△ABE的面积；
（2）首先由折叠的性质知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，由（1）知AE、DE的长，再次利用勾股定理计算出EG的长，然后证明△BGF≌△DGE，继而得到GF=EG，从而得到EF的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，
设BE=x，
由折叠的性质可得：DE=BE=x，
∴AE=AD-DE=9-x，
在Rt△ABE中，BE²=AE²+AB²，
∴x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
∴DE=BE=5，AE=9-x=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•AE=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
（2）连接BD，交EF于点G．
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF．
在Rt△ABD中，BD=3$\sqrt{10}$，
∵BG=DG，
∴DG=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．
由（1）知AE=4，ED=5，
在Rt△EDG中：EG²+DG²=ED²，
∴EG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠EGD=90°．
∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠GBF．
在△BGF与△DGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGF=∠EGD}\\{BG=DG}\\{∠GBF=∠GDE}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△DGE（ASA），
∴GF=EG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=2EG=$\sqrt{10}$．

点评 此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理．第2小题有一定难度，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．