Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线y=ax²+bx+c上有一点G，使得∠GAB=∠BCD，求点G的坐标；
（3）设△ABD的外接圆为⊙E，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是⊙E上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M，连接EM、PB．求tan∠MEB•tan∠PBA的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将已知点的坐标代入到二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），进而得到点D（2，-1），利用勾股定理的逆定理得到△CBD是直角三角形，利用正切函数的定义得到AF=3GF，从而得到-3（m²-4m+3）=m-1，求得m的值即可得到点G的坐标；
（3）根据点D的坐标为（2，-1）得到△ABD是等腰直角三角形，从而确定圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．根据点A、P、M三点在一条直线上，得到

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，从而求解．

解答：解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，可得：

c=3 a+b+c=0，9a+3b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4，c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3． 

（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），
∵点D（2，-1），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：CD=2

5

，BD=

2

，BC=3

2

，
∵CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=

1

3

．
∵tan∠GAF=

GF

AF

=

1

3

，
∴AF=3GF，
即-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=

8

3

．
∴点G的坐标为（

8

3

，-

5

9

）．

（3）∵点D的坐标为（2，-1），
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，
设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．
∵点A、P、M三点在一条直线上，
∴

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，即|y0|=

2|y1|

x1-1

．
∴tan∠MEB=

|y0|

EB

=

2|y1|

x1-1

，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=

x1-1

|y1|

，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2|y1|

x1-1

•

x1-1

|y1|

=2．
另解：同上，连接PE，
∵PE=1，PF=|y₁|，EF=|x₁-2|，
在Rt△PEF中，根据勾股定理得：（x₁-2）²+y12=1，
即1-（x₁-2）²=y12，…（12分），
∵tan∠PBA=

|y1|

3-x1

，…（13分）
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2y12

-(x12-4x1+3)

=

2y12

1-(x1-2)2

=2．

点评：此题考查了抛物线解析式的确定等二次函数的综合知识，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．