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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒
    		5
    个单位的速度沿D精英家教网A向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
    （1）求点A的坐标；
    （2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=
    1
    4
    ？
    分析：（1）由点C的坐标为（3，4），利用勾股定理得到OC的长，利用菱形的性质得到OA的长，即可确定点A的坐标；
    （2）先利用待定系数法确定直线AC的解析式，得到DO=10，利用勾股定理得到DC、DA的长．然后分类讨论：①当点P在线段AB上，Q在线段CD上；②当点P在线段BC上，Q在线段CD上；③当点P在线段BC上，Q在线段CA上；过点P作PH⊥AD于H，利用三角形相似比表示出PH，在根据三角形的面积公式分别表示出S；
    （3）分类讨论：当0＜t≤2.5；当2.5＜t＜3；当3＜t＜5，由（2）知道PH，然后分别表示出对应的QH，再根据正切的定义得到PH：QH=
    1
    4
    ，解关于t的方程，得到满足条件的t的值即可．
    解答：解：（1）∵点C的坐标为（3，4），
    ∴OC=
    		32+42
    =5，
    又∵四边形OABC为菱形，
    ∴OA=OC=5，
    ∴点A的坐标为（5，0）；

    （2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
    把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
    ∴OD=10，
    ∴AD=
    		102+52
    =5
    		5
    ，
    延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
    ∴DM=10-4=6，
    DC=
    		62+32
    =3
    		5
    ；
    ①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，精英家教网
    PA=2t，DQ=
    		5
    t，CQ=3
    		5
    -
    		5
    t，
    过点P作PH⊥AD于H，如图，
    ∵四边形OABC为菱形，
    ∴∠PAH=∠OAD，
    ∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
    ∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5
    		5
    ，
    ∴PH=
    4
    		5
    5
    t，AH=
    2
    		5
    5
    t，
    ∴S=
    1
    2
    QC•PH=
    1
    2
    •（3
    		5
    -
    		5
    t）•
    4
    		5
    5
    t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
    ②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，精英家教网
    PC=10-2t，
    过点P作PH⊥AD于H，如图，
    易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
    ∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5
    		5
    ，
    ∴PH=4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t，CH=2
    		5
    -
    2
    		5
    5
    t，
    ∴S=
    1
    2
    PH•CQ=
    1
    2
    •（4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t）•（3
    		5
    -
    		5
    t）=2t2-16t+30（2.5＜t＜3）；
    ③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
    过点P作PH⊥AD于H，如图，
    由②知PH=4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t，精英家教网
    ∴S=
    1
    2
    PH•CQ=
    1
    2
    •（4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t）•（
    		5
    t-3
    		5
    ）=-2t2+16t-30（3＜t＜5）；

    （3）当0＜t≤2.5，
    ∵PH=
    4
    		5
    5
    t，AH=
    2
    		5
    5
    t，
    ∴QH=5
    		5
    -
    		5
    t-
    2
    		5
    5
    t=5
    		5
    -
    7
    		5
    5
    t，
    ∵tan∠PQH=
    1
    4
    ，
    ∴PH：QH=
    4
    		5
    t
    5
    5
    		5
    -
    7
    		5
    t
    5
    =
    1
    4
    ，解得t=
    25
    23
    ；
    当2.5＜t＜3，
    ∵PH=4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t，CH=2
    		5
    -
    2
    		5
    5
    t，
    ∴QH=3
    		5
    -
    		5
    t+2
    		5
    -
    2
    		5
    5
    t=5
    		5
    -
    7
    		5
    5
    t，
    ∵tan∠PQH=
    1
    4
    ，
    ∴PH：QH=（4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t）：（5
    		5
    -
    7
    		5
    5
    t）=
    1
    4
    ，解得t=
    55
    9
    （舍去）；
    当3＜t＜5，
    ∵PH=4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t，CH=2
    		5
    -
    2
    		5
    5
    t，
    ∴QH=
    		5
    t-3
    		5
    -（2
    		5
    -
    2
    		5
    5
    t）=
    7
    		5
    5
    t-5
    		5
    ，
    ∵tan∠PQH=
    1
    4
    ，
    ∴PH：QH=（4
    		5
    -
    4
    		5
    5
    t）：（
    7
    		5
    5
    t-5
    		5
    ）=
    1
    4
    ，解得t=
    105
    23
    ；
    ∴点P在运动的过程中t为
    25
    23
    或
    105
    23
    时，tan∠PQH=
    1
    4
    ．
    点评：本题考查了一次函数的综合题：利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后根据解析式确定线段的长或根据相似比求线段的长．也考查了菱形的性质、三角函数的定义以及分类讨论思想的运用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=
    		2
    ，则点A的坐标为
    （
    		2
    ，0）
    （
    		2
    ，0）
    ；点B的坐标为
    （
    		2
    +1，1）
    （
    		2
    +1，1）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒数学公式个单位的速度沿DA向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
    （1）求点A的坐标；
    （2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=数学公式？

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    科目：初中数学 来源：2010年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒个单位的速度沿DA向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
    （1）求点A的坐标；
    （2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=？

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年新人教版九年级（上）期中数学试卷（8）（解析版） 题型：填空题

    如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点A的坐标为    ；点B的坐标为    ．

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