Question

17．已知关于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围．
（2）当k为何值时，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解不等式即可求出k的值，再根据二次项系数非零，即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，结合|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出k值．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（1-2k）²-4k²=1-4k＞0，
解得：k＜$\frac{1}{4}$．
又∵k²≠0，
∴k的取值范围是k＜$\frac{1}{4}$且k≠0．
（2）∵方程k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
∵|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24，
∴|$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$|-2•$\frac{1}{{k}^{2}}$=-24，即$\frac{|2k-1|}{|{k}^{2}|}$-$\frac{2}{{k}^{2}}$=-24，
∴|2k-1|=-24k²+2，
①当2k-1≥0，即k≥$\frac{1}{2}$时，与（1）中求得的k＜$\frac{1}{4}$相矛盾，故舍去；
②当2k-1＜0，即k＜$\frac{1}{2}$时，有-（2k-1）=-24k²+2，
解得：k₁=$\frac{1}{4}$，k₂=-$\frac{1}{6}$，
∵k＜$\frac{1}{4}$，
∴k₁=$\frac{1}{4}$不合题意，故舍去．
经检验k₂=-$\frac{1}{6}$是方程$\frac{|2k-1|}{|{k}^{2}|}$-$\frac{2}{{k}^{2}}$=-24的解．
综上，当k=-$\frac{1}{6}$时，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出△=1-4k＞0；（2）分两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．