Question

20．如图，在直角坐标系中，点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于点B，点C是OB的中点，一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，交y轴于点D（0，-2），△AOB的面积为4
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由△AOB的面积可求得k的值，则可求得反比例函数解析式，由C为OB的中点，可证明△ABC≌△DOC，可求得AB的长，则可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得a和b的值，可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数解析式可求得C点坐标，则可求得OC、OA和AC的长，可设M（x，0），由题意可知M在点x轴的正半轴上，又M与点C不重合，故只有△AOC∽△MOA，利用相似三角形的性质可求得OM的长，则可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）设A（m，n），则AB=n，OB=m，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OB=$\frac{1}{2}$mn=4，
∴mn=8，
∵点A在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=mn=8，
∴反比例函数解析式为y₁=$\frac{8}{x}$，
∵C为OB的中点，
∴BC=OC，
在△ABC和△COC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DOC}\\{∠ACB=∠DCO}\\{BC=OC}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DOC（AAS），
∵D（0，-2），
∴AB=OD=2，
∵点A在反比例函数y₁=$\frac{8}{x}$图象上，
∴A（4，2），
把A、D两点坐标代入一次函数y₂=ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y₂=x-2；
（2）在y₂=x-2中，令y₂=0可求得x=2，
∴C（2，0），
∴OC=2，且OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在△AOC中，∠ACO为钝角，
若M点在x轴负半轴上时，则∠AOM＞∠ACO，故两三角形不可能相似，
∴点M在x轴的正半轴上，可设其坐标为（x，0），则OM=x，
此时∠AOC=∠AOM，故只有△AOC∽△AOM和△AOC∽△MOA，
当△AOC∽△AOM时，由AO=AO，则有OM=OC，即M与点C重合，不合题意，
当△AOC∽△MOA时，则有$\frac{AO}{MO}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{x}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得x=10，
∴M点坐标为（10，0）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、反比例函数k的几何意义、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中确定出相似三角形的对应点是解题的关键，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．