Question

15．如图，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为A（-2，0）、B（0，4）、C（8，0）．
（1）在图中画出△ABO关于直线y=x+2的对称图形，记做△A′B′O′；
（2）将（1）中的△A′B′O′沿x轴向右平移，当点A′与点C重合时停止运动，若平移速度为每秒1个单位，运动时间为t，设平移后的图形与△BCO的重叠部分面积为S，在△A′B′O′运动过程中，S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t≤m，m＜t≤n，n＜t＜k时，函数的解析式不同）
①填空：n的值为：6；
②试求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用折叠的性质直接作出图形；
（2）①根据三角形A'O'B'运动过程中，重叠部分的面积的变化情况即可得出结论，（借助②的图形更清晰）；
②分三种情况，利用三角形的面积公式和面积的和差即可得出结论．

解答 解：（1）△ABO关于直线y=x+2的对称图形，如图1所示，


（2）①如图2，

∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
由折叠知，O'A'=OA=2，O'B'=OB=4，∠A'O'B'=∠AOB=90°，
∴O'B'∥OA，
∴O'（-2，2），B'（2，2），
∴O'E=B'E，BE=OE，
当点B'运动在BC边上的过程中，S增大，点B'在BC边上时，O'A'在y轴上，此时，t=2，
当继续向右运动到点O'在边BC的过程中，S减小，此时，t=2+4=6，
当再向右运动到点A'在点C的过程中，S减小，到点A'和C重合时运动结束，此时t=10，
由题干图2，得出，m=2，n=6，k=10，故答案为6；

②Ⅰ、当0≤t≤2时，如图3，

由运动知，B'E=t+2，
在Rt△A'O'B'中，tan∠A'B'O'=$\frac{O'A'}{O'B'}=\frac{1}{2}$，
∴EH=$\frac{1}{2}$B'E=$\frac{1}{2}$（t+2），
∴S=$\frac{1}{2}$EH•B'E=$\frac{1}{2}$×（t+2）×$\frac{1}{2}$（t+2）=$\frac{1}{4}$（t+2）²，
Ⅱ、当2＜t≤6时，如图4，

由运动知，B'E=t-2，
在Rt△OBC中，tan∠ACB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=∠ABO=∠A'B'O'，
过点H作HQ⊥O'B'于Q，
∵O'B'∥OA，
∴∠B'=∠B'A'C，∠B'EH=∠OCB，
∴∠B'EH=∠O'B'A，
∴B'Q=$\frac{1}{2}$B'E=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴QH=B'Q×tan∠O'B'A'=$\frac{1}{4}$（t-2），
∴S=S_△O'A'B'-S_△B'EH=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$B'E•QH=4-$\frac{1}{2}$•（t-2）•$\frac{1}{4}$（t-2）=-$\frac{1}{8}$（t-2）²+4，
Ⅲ、当6＜t＜10时，如图5，

由运动知，AA'=t，
∴AC=OC-OA'=8-（t-2）=10-t，
同Ⅱ的方法得，CH=A'H=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（10-t），QH=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{4}$（10-t），
∴AE=2QH=$\frac{1}{2}$（10-t），
∴S=S_△A'EQ=$\frac{1}{2}$AE•A'H=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（10-t）×$\frac{1}{2}$（10-t）=$\frac{1}{8}$（10-t）²；
综上述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（t+2）^{2}（0≤t≤2）}\\{-\frac{1}{8}（t-2）^{2}+4（2＜t≤6）}\\{\frac{1}{8}（10-t）^{2}（6＜t＜10）}\end{array}\right.$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了折叠的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，解（2）①的关键是根据平移的性质，观察重叠部分部分的面积变化情况分析问题，解（2）②的关键是画出图形．