解:(1)作DP⊥BC,AQ⊥BC,垂足分别为P、Q.
∵AB=3
,∠A=90,∠ABC=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,BC=6,
∴AQ=3,
∵D是AB中点,
∴DP=
AQ=
,
∴S=
BE×DP=
t×
=
t,
∴S=
t;
(2)作AG∥BC交EF延长线于G点,
∴∠G=∠E,
∵D为中点,
∴DB=DA,
在△EBD和△GAD中,
,
∴△EBD≌△GAD(AAS),
∴AG=BE=t,CE=6+t,
∵AG∥BC,
∴△AGF∽△CEF,
∴AF:FC=AG:CE,
若AF:FC=1:4 则AG:EC=1:4,
∵AG=t,EC=6+t,
得t:(6+t)=1:4,
解得:t=2,
∴t=2时,AF:FC=1:4;
(3)∵△AGF∽△CEF,
∴AG:EC=AF:FC,
∵AB=AC=3
,
∴CE=6+t,
∴AF=
,
∴S
△ADF=
AD×AF=
×
×
=
,
∵S
△EBD=
t,
若S
△ADF:S
△EBD=1:2,
∴
:
t=1:2,
解得:t=0或3,
∵t=0时,三角形不存在,
∴t=3时,S
△ADF:S
△EBD=1:2.
分析:(1)作DP⊥BC AQ⊥BC,由∠A=90,∠ABC=45°,推出△ABC为等腰直角三角形和BC的长度后,即可得,AQ=3,再由D是AB中点,推出DP的长度,即可推出S=
t;
(2)作AG∥BC交EF延长线于G点,通过求证△EBD≌△GAD,即可推出AG=BE=t,CE=6+t,由AG∥BC,可知△AGF∽△CEF,然后根据对应边成比例推出AF:FC=AG:CE后,解方程即可推出t的值;
(3))由(2)得,△AGF∽△CEF,推出比例式,AG:EC=AF:FC后,即可得AF的长度,然后根据三角形面积公式推出S
△ADF的值,由S
△EBD=
t,根据S
△ADF:S
△EBD=1:2,解方程即可推出t的值,最后分析讨论即可确定的值.
点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积公式,关键在于根据题意正确的做出辅助线,熟练运用相关的性质定理,认真的进行计算.