Question

【题目】如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．

（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；

（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；

（2）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，证明方法与题（1）相同；

（3）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，先同（2）求出，从而可证，由相似三角形的性质可得，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出的值，即可得出答案.

（1），理由如下：

由直角三角板和正方形的性质得

在和中，

；

（2）成立，证明如下：

如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形

由正方形对角线的性质得，为的角平分线

则

在和中，

；

（3）如图，过点分别作，垂足分别为

同（2）可知，

由长方形性质得：

，即

在和中，

.