【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C,旋转角为ɑ(0°<ɑ<90°),连接BB1 . 设CB1交AB于点D,A1B1分别交AB,AC于点E,F.
(1)求证:△BCD≌△A1CF;
(2)若旋转角ɑ为30°,
①请你判断△BB1D的形状;
②求CD的长.
【答案】
(1)
证明:∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,
∴∠A1=∠A,A1C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α.
∴∠A1=∠CBD,A1C=BC.
在△CBD与△CA1F中,
,
∴△BCD≌△A1CF(ASA)
(2)
解:①△BB1D是等腰三角形,理由如下:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋转的性质得到BC=B1C,则∠CB1B=∠CBB1,
∴∠CB1B=∠CBB1= =
=75°.
∴∠B1BD=∠CBB1﹣∠CBA=75°﹣45°=30°,
∴∠BDB1=480°﹣75°﹣30°=75°,
∴∠BDB1=∠CB1B=∠DB1B=75°,
∴BD=BB1,
∴△BB1D是等腰三角形.
②如图,过D作DG⊥BC于G,设DG=x,
∵ɑ=30°,∠DBE=45°,
∴BG=x,CG= x,
∴ x+x=1,
解得x= ,
故CD=2x= ﹣1.
【解析】(1)根据已知条件,利用旋转的性质及全等三角形的判定方法,来判定三角形全等.(2)①根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质得到△BB1D是等腰三角形;②如图,过D作DG⊥BC于G,设DG=x,通过解直角三角形和已知条件BC=1列出关于x的方程,通过解方程求得x的值,然后易得CD=2x.
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【题目】如图,已知矩形ABCD中,E是AD上一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.
(1)求证:△AEF≌△DCE.
(2)若DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
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【题目】计算
(1)﹣5+3﹣2
(2)﹣20﹣(﹣18)+(﹣14)+13
(3)5.6+(﹣0.9)+4.4+(﹣8.1)
(4)(+ )﹣
﹣
+(﹣
)
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【题目】在长方形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为_______.(用a、b的代数式表示)
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【题目】有理数 a、b、c 在数轴上对应的点的位置,如图所示:① abc<0;② |a-b|+|b-c|=|a-c|;③ (a-b)(b-c)(c-a)>0;④ |a|<1-bc,以上四个结论正确的有( )个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:
甲、乙射击成绩统计表
平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 | |
甲 | 7 | |||
乙 | 1 |
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图);
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁将胜出?说明你的理由;
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则?为什么?
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【题目】如图,已知AE=CF,∠A=∠C,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠D=∠B B. AD=CB C. BE=DF D. ∠AFD=∠CEB
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
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【题目】运用“同一个图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式,这种解决问题的方法我们称之为等面积法.学有所用:在等腰三角形ABC中,AB=AC,其一腰上的高BD=h,M是底边BC上的任意一点,M到腰AB的距离ME=h1,M到腰AC的距离MF=h2.
(1)请你结合图形1来证明:h1+h2=h;
(2)当点M在BC的延长线上时,h1、h2、h之间又有什么样的结论,请你在图2中画出图形;
(3)请利用以上结论解答下列问题,如图3,在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=,l2:y=﹣3x+3,若l2上的一点M到l1的距离是1,求点M的坐标.
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