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    在矩形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．
    （1）如图1，当AB=BC时；
    ①求证：矩形AEFG是正方形；
    ②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．
    （2）如图2，当AB≠BC时，上面的猜想还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．

    【答案】分析：（1）①由已知条件可先判定四边形AEFG为矩形，再根据邻边相等（AB=BC）的矩形为正方形即可判定四边形AEFG为正方形；
    ②由①可知AE=EF，∠AEF=90°，再由已知条件判定△AEB≌△EFH，进而证明∠ACF=90°，即AC⊥FC；
    （2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立，首先判定△AEB∽△EFH，再判定△CHF∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应角相等即可证明AC⊥FC．
    解答：解：（1）①证明：当AB=BC时，矩形ABCD是正方形．
    ∴AB=AD时，∠ABE=∠ADG=90°．
    ∵∠BAD=∠EAG=90°，
    ∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
    ∴∠BAE=∠DAG，
    ∴△ABE≌△ADG． 已知条件
    ∴AE=AG．
    ∴矩形AEFG是正方形．
    ②猜想：AC⊥FC． 
    证明：∵矩形AEFG是正方形，
    ∴AE=EF，∠AEF=90°，
    ∴∠AEB+∠FEH=90°．
    又∵∠AEB+∠EAB=90°，
    ∴∠EAB=∠FEH．
    ∵∠ABE=∠EHF=90°，
    ∴△AEB≌△EFH．
    ∴BE=HF，AB=EH．
    ∴BC=EH，∴BE=CH，
    ∴HF=CH．∴∠FCH=45°．
    ∵AC是正方形ABCD的对角线，
    ∴∠ACB=45°．
    ∴∠ACF=90°，
    ∴AC⊥FC．

    （2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立． 
    证明：由（1）可知：∠EAB=∠FEH，∠ABE=∠EHF，
    ∴△AEB∽△EFH，
    ∴=．
    易证△AGD≌△EFH．
    ∴AD=EH，DG=HF．
    ∵AD=BC，
    ∴BC=EH，
    ∴BE=CH．
    ∴=，
    即=．
    ∵∠CHF=∠ABC=90°，
    ∴△CHF∽△ABC，
    ∴∠HCF=∠BAC．  
    ∵∠BAC+∠ACB=90°，
    ∴∠HCF+∠ACB=90°，
    ∴∠ACF=90°，
    ∴AC⊥FC．
    点评：本题考查了矩形的判定方法、正方形的判定方法以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，题目综合性很强，难度不小．
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