Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°．

（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；

（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积为60π﹣9．

【解析】

（1）要证明∠DBF＝∠ABE，需证∠EBF＝ABD＝60°，则∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，可得∠DBF＝∠ABE；

（2）过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，可证明△ABM≌△DBN，阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC＝＝60π﹣9.

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，AD∥BC，

∵∠A＝60°，

∴∠ADB＝∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

即∠EBF＝ABD＝60°，

∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，

即∠DBF＝∠ABE；

（2）解：过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，

∴DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，BC＝AB＝6，

∴∠ADC＝120°，

∴∠QBC＝30°，

∴CQ＝BC＝3，BQ＝CQ＝3，

∵∠A＝60°，∠CDB＝120°﹣60°＝60°，

∴∠A＝∠CDB，

∵AB＝BD，

∴在△ABM和△DBN中

∴△ABM≌△DBN（ASA），

∴S△ABM＝S△DBN，

∴阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC＝＝60π﹣9．