Question

已知：抛物线的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）.

(1) 当，直接写出与抛物线有关的三条正确结论；

（2）若抛物线经过原点，且△ABP为直角三角形.求a，b的值；

（3）若将抛物线沿轴翻折得抛物线，抛物线的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

 

                                                    

Answer 1

解：（1）①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴是. ；

③抛物线的顶点坐标是（2,４）（答案不唯一）　　　　　

（2）设直线与轴交于点E,则E（2,0）.

∵抛物线经过原点， ∴Ａ(0,0),Ｂ(4,0).　　　

∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知,

∴,

∴Ｐ(2,－2)或(2,2).

当抛物线的顶点为Ｐ(2,－2)时，，把(0,0)代入，

得：，此时，.　　　　　　　　　　　　　　

当抛物线的顶点为Ｐ(2,2)时，，把(0,0)代入，

得：，此时，.

∴，或，.

（3）依题意，Ａ、Ｂ关于点E中心对称，当Ｐ,Ｑ也关于点E对称，

则当时， 四边形ABDC是正方形.

　　令　　则

解得：且Ｅ（2,０）

　　　∴

∴ ，

　　　 ∴.