Question

10．已知关于x的一元二次方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0，当$\frac{1}{4}$＜m＜2时，判断此方程根的个数并说明理由．

Answer 1

分析 判断方程根的个数，只需要计算方程的判别式△的值再和0比较大小即可．

解答 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵$\frac{1}{4}$＜m＜2，
∴方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0是一元二次方程，
∵△=b²-4ac=[-（m-1）]²-4×（m-2）×m=-3m²+6m+1，
令-3m²+6m+1=0，解得m=1±$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
m₁=1+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≈2.15，m₂=1-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≈-0.15＜$\frac{1}{4}$，
∴当$\frac{1}{4}$＜m＜2时，△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次函数的性质及一元二次方程的解法．