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10.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0,当$\frac{1}{4}$<m<2时,判断此方程根的个数并说明理由.

分析 判断方程根的个数,只需要计算方程的判别式△的值再和0比较大小即可.

解答 解:方程有两个不相等的实数根,理由如下:
∵$\frac{1}{4}$<m<2,
∴方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0是一元二次方程,
∵△=b2-4ac=[-(m-1)]2-4×(m-2)×m=-3m2+6m+1,
令-3m2+6m+1=0,解得m=1±$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$,
m1=1+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≈2.15,m2=1-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≈-0.15<$\frac{1}{4}$,
∴当$\frac{1}{4}$<m<2时,△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.

点评 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了二次函数的性质及一元二次方程的解法.

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