Question

如图（1），在直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，过A点的直线与抛物线的另一交点为D（m，3），与y轴相交于点E，点A的坐标为（-1，0），∠BAD=45°，点P是抛物线上的一点，且点P在第一象限．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）若S_△PBC：S_△BOC=2：3，求点P的坐标；
（3）如图（2），若M为抛物线的顶点，点Q为y轴上一点，求使QM+QB最小时，点Q的坐标，并求QM+QB的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线AD的方程为y=kx+b，由已知条件易求E点的坐标，把A和E点的坐标代入求出k和b的值即可得到一次函数解析式；把D的坐标代入一次函数的解析式可求m的值，把A和D的坐标代入y=ax²+bx+3中求出a和b的值即可得到二次函数的解析式；
（2）易求△BOC的面积，因为S_△PBC：S_△BOC=2：3，所以△PBC的面积可求，设P点坐标为（x₀，-x02+2x0+3），过P点作PF⊥AB交AB于点F，交AD于点H，则H（x₀，-x₀+3），由三角形的面积为3建立方程求出x的值即可得到P的坐标；
（3）根据抛物线的解析式易求M和B的坐标，进而可得点M关于y轴的对称点为M′（-1，4），连接BM′，则和y轴的交点为Q，利用勾股定理即可求出QM+QB的最小值．

解答：解：（1）在Rt△AOE中，
∵AO=1，∠AEO=45°，
∴EO=AO=1，
∴E（0，1），
设直线AD的方程为y=kx+b，
把A（-1，0），E（0，1）代入y=kx+b中，
得

0=-x+b 1=0+b

，
解得

k=1 b=1

，
∴直线AD的方程为：y=x+1，
令y=3，解得x=2，
∴D（2，3）
把A（-1，0），D（2，3）代入y=ax²+bx+3中，得

0=a-b+3 3=4a+2b+3

，
解得

a=-1 b=2

∴抛物线的方程为：y=-x²+2x+3；
（2）∵S△BOC=

1

2

BO•CO=

1

2

×3×3=

9

2

，
∵S_△PBC：S_△BOC=2：3，
∴S△PBC=

2

3

S△BOC=3，
设P点坐标为（x₀，-x02+2x0+3），
过P点作PF⊥AB交AB于点F，交AD于点H，则H（x₀，-x₀+3），
∴S△PCB=

1

2

PH•BO=

1

2

×(-x02+3x0)×3=3，
∴x02-3x0+2=0，
解得：x₀=1，x₀=2，
∴点P的坐标为（1，4），（2，3）；
（3）∵抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点M（1，4），
设y=0，则=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∴B（3，0），
点M关于y轴的对称点为M′（-1，4），
直线BM′的方程为y=-x+3，
令x=0，解得y=3，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴QM+BM的最小值为BM′=

42+42

=4

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数解析式的转化，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用，三角形的面积的求解，轴对称问题以及两点之间线段最短的问题．本题难点在于（2）作辅助线构造三角形，正确的设出设P点坐标为（x₀，-x02+2x0+3）．