分析 (1)利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,进而得出CH的长,进而得出答案;
(2)首先求出直线AF的解析式,进而得出当D与O重合时,点C′与A重合,且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形,求出即可;
(3)根据题意得出△DO′E与△COO′相似,则△COO′必是Rt△,进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案.
解答 解:(1)∵△CBD≌△C′BD,
∴∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,
∴∠CBC′=30°,
如图1,作C′H⊥BC于H,则C′H=1,HB=$\sqrt{3}$,
∴CH=2-$\sqrt{3}$,
∴点C′的坐标为:(2-$\sqrt{3}$,1);
(2)如图2,∵A(2,0),k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴代入直线AF的解析式为:y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b,
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
则直线AF的解析式为:y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴∠OAF=30°,∠BAF=60°,故∠BAC′=60°,
∵在点D由C到O的运动过程中,BC′扫过的图形是扇形,
∴当D与O重合时,点C′与A重合,
且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形
当C′在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$上时,BC′=BC=AB,∠BAC′=60°,
∴△ABC′是等边三角形,这时∠ABC′=60°,
∴重叠部分的面积是:$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×22=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$;
(3)如图3,设OO′与DE交于点M,则O′M=OM,OO′⊥DE,
若△DO′E与△COO′相似,则△COO′必是Rt△,
在点D由C到O的运动过程中,△COO′中显然只能∠CO′O=90°,
∴CO′∥DE,
∴CD=OD=1,
∴b=1,
连接BE,由轴对称性可知C′D=CD,BC′=BC=BA,
∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°,
在Rt△BAE和Rt△BC′E中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$,
∴Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),
∴AE=C′E,
∴DE=DC′+C′E=DC+AE,
设OE=x,则AE=2-x,
∴DE=DC+AE=3-x,
由勾股定理得:x2+1=(3-x)2,
解得:x=$\frac{4}{3}$,
∵D(0,1),E($\frac{4}{3}$,0),
∴$\frac{4}{3}$k+1=0,
解得:k=-$\frac{3}{4}$,
∴存在点D,使△DO′E与△COO′相似,这时k=-$\frac{3}{4}$,b=1.
点评 此题主要考查了相似形综合以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识,正确得出AE=C′E是解题关键.
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A. | 6 | B. | 5 | C. | 4 | D. | 3 |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | b>c>a | D. | c>b>a |
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | 1 |
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A. | $\frac{400}{x}$=$\frac{400+100}{x+20}$ | B. | $\frac{400}{x}$=$\frac{400-100}{x-20}$ | ||
C. | $\frac{400}{x}$=$\frac{400+100}{x-20}$ | D. | $\frac{400}{x}$=$\frac{400-100}{x+20}$ |
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