Question

19．已知△ABC中，∠C=90°，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与三角形的边相切，下列选项中，⊙O的半径为$\frac{ab}{a+b}$的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 利用圆与三角形各边相切的不同情况，利用勾股定理列方程求出圆的半径，找出正确的答案．

解答 解：①∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴⊙O的半径=$\frac{a+b-c}{2}$，
∴A不正确；
②∵⊙O与AB，BC相切，
∴r²+（c-a）²=（b-r）²
∴r=$\frac{（a+b-c）（b+c-a）}{2b}$，
∴B不正确；
③∵⊙O与AC，BC相切，圆心在AB上，
∴$\frac{b=r}{b}$=$\frac{r}{a}$，
∴r=$\frac{ab}{a+b}$，
∴C正确，
④∵⊙O与AB，AC相切，圆心在BC 上，
∴（a-r）²=r²+（c-b）²，
∴r=$\frac{（a+c-b）（a-c+b）}{2a}$，
∴D不正确．

点评 本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理的应用，正确弄清圆与三角形的位置关系是解决本题的关键．